El model SIR és un model epidemològic que funciona molt bé per veure com afecta un agent infecciós i potencialment nociu (com podría ser el virus del coronavirus) en una població. Aquest tipus de model ens ajuda doncs a preveure com serà el contagi i a avaluar les mesures a seguir (en el cas de que sigui epidèmic) per tal d’aturar el virus en el mínim temps possible.
Aquest model va ser proposat per l’escocès Anderson Gray McKendrick a l’any 1926. Les sigles del model defineixen els estats que un individu pot presentar davant d’aquesta malaltia. La S és de susceptible, és a dir, la persona pot estar en l’estat de ser susceptible d’agafar el virus, de ser infectat. La següent sigla I correspon a l’estat en que la persona ja està infectada, és portadora i per tant pot infectar a altres susceptibles. La última sigla R fa referencia a l’estat en que la persona ha passat el virus i s’ha recuperat, es torna immune al virus. Aquest model no considera el cas de que la persona recuperada pugui contagiar-se de nou (com podria ser pel cas del COVID-19 que estem exposant). A part les sigles SIR estan escrites en aquest ordre a propòsit ja que és la consecució natural dels estats que probablement una persona passarà, de S a I a R.
El que volem veure ara és com varia la quantitat de persones susceptibles, infectades i recuperades al llarg del temps per fer previsions de com afectarà la malaltia. Per mirar aquestes variacions el model mira la derivada de cada variable respecte el temps, el que anomenem equacions diferencials. Però abans de mirar com son les equacions del model hem de definir dues variables més que son de vital importància. La variable β, taxa d’infecció del virus, que es podria veure com la probabilitat del que el contagi es doni. I de que depèn de que sigui exitós el contagi? Doncs té a veure molt amb el nombre mig de “trobades” entre persones susceptibles e infectades (d’aquí el distanciament social). En la simulació aquesta variable pren el valor inicial de 0.3 (es pot variar), indicant que hi ha un 30% de probabilitat de que un susceptible s’infecti. I també està el valor de λ que correspon a la taxa de recuperació, que també posem inicialment a 0.3 (es pot variar), i es podria interpretar com que hi ha un 30% de probabilitat de que la persona infectada es recuperi.
Ara sí anem a veure quines son les equacions diferencials del model pels diferents estats. Recorda que volem veure les variacions del nombre de S, I i R respecte del temps així que hem de mirar les seves derivades.
Pel que fa al cas del nombre de persones susceptibles podem imaginar que si hi ha persones infectades aquest número anirà decreixent en el temps en funció del número de persones infectades que tenim al voltant (ja que els susceptibles es tornaran infecciosos). Així que portarà un signe negatiu multiplicat per el número de persones susceptibles que hi ha i d’infectades, que es pot interpretar com la probabilitat de que una persona susceptible es trobi amb una infectada. Però apart hem de tenir en compte, la taxa d’infecció. Pel cas contrari, de les persones recuperades anirà augmentant en el temps en funció del número de persones infectades que hi ha (ja que per recuperar-te primer has d’estar infectat) i multiplicat per la taxa de recuperació. Bé! I ja finalment per saber la velocitat en que les persones son infectades, aquest número dependrà de quantes persones susceptibles estan disponibles en aquell moment menys les persones que s’han recuperat (tot respecte del temps). Així veiem que la proporció d’infectats augmentarà si βS > λ i disminuirà si βS < λ.
En aquest model si no afegim naixements ni morts (el número de individus total és constant, pren un valor determinat) arriba a un estat estacionari o d’equilibri, en el que la propagació acaba finalitzant amb el pas del temps, així que seria una epidèmia no endèmica. Però és important valorar els diferents escenaris fins que s’extingeixi el virus depenent del que s’anomena factor reproductiu i que s’expressa com R= β/λ. Aquest valor es pot interpretar com el número de persones en promig que un infectat contagia abans de recuperar-se, i aquest valor varia al llarg de la epidèmia (segons les intervencions que es facin). No s’ha de confondre amb R0 que seria aquest factor en el moment inicial del brot, representa el poder del propi virus, i aquest valor és diferent segons el lloc on s’inicia el contagi. Per exemple, per la grip R0=1.28 [1] (cada infectat contagia a 1.28 persones en promig abans de recuperar-se) i pel COVID-19 és aproximadament de R0=2.2 en grans ciutats [1] (cada infectat contagia a 2.2 persones en promig abans de recuperar-se). Igualment en el nostre model per simplicitat posarem R0=R.
Això a la nostra simulació es el que pots anar variant constantment tocant els parametres β i λ. I és que si variem aquests dos paràmetres canviarà aquest factor reproductiu, que és clau per veure l’evolució del contagi (Fig.1). Segons el model es reflectiran dues situacions:
Per veure aquestes dues situacions t’animem a que juguis una mica amb la simulació del model, variant aquests dos paràmetres i que després contestis les preguntes (Quiz) que trobaràs al final del text per veure si ho has entès tot bé. Recorda que en aquest model sempre s’arriba a l’estat estacionari, en que els individus es recuperen. Pensa que aquí tampoc tenim en compte que els recuperats puguin contagiar-se de nou, i que ningú es mor quan un està infectat. Veiem doncs que aquest model té les seves limitacions, tot i així, no deixa de ser un model molt valuós, del que es pot treure molta informació per saber com actuar contra una epidèmia. De fet aquest model s’està fent servir actualment com a base d’altres més complexes per veure com procedir amb el COVID-19. En particular, podeu modificar la velociatat (mobilitat) i veure com aquesta afecta el creixement del nombre d'infectats.
En el següent enllaç podeu trobar un article molt interessant (en anglès) on de manera senzilla s'explica aquest model.
Podeu veure diferents versions del Model SIR en els següents enllaços:
Marc Guarch | Sara Teller | Irene Ferri | Ferran R. Moya | Tots el drets reservats | UBICS 2020